文章目录
一、FMCW雷达基本原理简介二、FMCW雷达测距原理1.探测距离和距离分辨率
三、FMCW雷达测速原理1.探测速度和速度分辨率
四、FMCW雷达二维FFT代码（matlab）总结
一、FMCW雷达基本原理简介
调频连续波雷达（Frequency Modulated Continuous Wave Radar，简称FMCW雷达），是指发射频率受特定信号调制的连续波雷达。其连续发射调频信号，以测量距离、速度以及角度。FMCW雷达系统所用信号的频率随时间变化呈线性升高。这种类型的信号也称为线性调频脉冲，下面为发射单个脉冲测距和脉冲串测速的示意图。
二、FMCW雷达测距原理
1.探测距离和距离分辨率
探测目标到雷达的距离为R，雷达接收机接收信号延时为
τ
\tau
τ，光速为c，在忽略目标速度的情况下，则探测距离R与延时
τ
\tau
τ，光速c之间有如下关系：
R
=
τ
c
2
R=\frac{\tau c}{2}
R=2τc （延时
τ
\tau
τ内电磁波行进了2倍的目标距离） 对于线性调频信号而言，信号带宽B与线性调频率S，信号时宽T的关系如下：
B
=
S
∗
T
B=S*T
B=S∗T 对于混频得到中频信号频率f而言，有如下：
f
=
S
∗
τ
f=S*\tau
f=S∗τ 继续变换，得到目标距离R和中频频率f的关系：
R
=
f
c
2
S
R=\frac{fc}{2S}
R=2Sfc 上式得到目标距离的表达式，下面对雷达的距离分辨率进行探究，在雷达距离维进行FFT，又被称为快时间的FFT，即在一个线性调频脉冲时间
T
T
T之内完成。为了更好的理解距离分辨率，从上式可看出，距离
R
R
R与
f
f
f有着对应关系，在距离FFT中，得到峰值正对应频率
f
f
f处，所以距离分辨率
Δ
R
\Delta R
ΔR与频率的最小分辨率
Δ
f
\Delta f
Δf相对应，有如下关系：
Δ
R
=
Δ
f
c
2
S
\Delta R=\frac{Δfc}{2S}
ΔR=2SΔfc 在这里利用FFT的角度来理解f的分辨率，在其他的资料里，强调在一个时宽T的范围内，频率分辨率为1/T，但是并未给出频率分辨率f的推导过程。这里在FFT的角度上进行推导，假设采样频率为
f
s
f_s
fs，采样的点数为
M
M
M，fft的点数为M1，FFT的频率分辨率
Δ
f
\Delta f
Δf计算公式如下：
Δ
f
=
f
s
1
M
1
,
M
=
f
s
∗
T
Δ f = f_s \frac{1}{M1},M=f_s*T
Δf=fsM11,M=fs∗T (在时宽
T
T
T的范围内，采样点为M个，则有：
M
=
f
s
∗
T
M=f_s*T
M=fs∗T) 结合上面两个公式，如果fft点数等于采样点数，即
M
=
M
1
M=M1
M=M1，有如下：
Δ
f
=
1
T
Δf=\frac{1}{T}
Δf=T1 所以距离分辨率
Δ
R
ΔR
ΔR有如下的表达式：
Δ
R
=
Δ
f
c
2
S
=
c
2
S
T
=
c
2
B
\Delta R=\frac{Δfc}{2S}=\frac{c}{2ST}=\frac{c}{2B}
ΔR=2SΔfc=2STc=2Bc 如果fft点数
M
1
M1
M1不等于采样点数
M
M
M，则距离分辨率
Δ
R
ΔR
ΔR为：
Δ
R
=
Δ
f
c
2
S
=
f
s
∗
c
2
S
∗
M
1
=
c
∗
M
2
B
∗
M
1
ΔR=\frac{Δfc}{2S}=\frac{fs*c}{2S*M1}=\frac{c*M}{2B*M1}
ΔR=2SΔfc=2S∗M1fs∗c=2B∗M1c∗M
三、FMCW雷达测速原理
1.探测速度和速度分辨率
上节的推导只是不考虑物体速度的特殊情况，对于FMCW雷达而言，测速功能是通过多普勒FFT功能进行实现的。FMCW雷达的测速值，可以通过相位变化量得到，连续两个脉冲之间最大的相位移动为
π
\pi
π，超过相移量
π
\pi
π就会出现测速模糊。 下面对多普勒FFT得到的速度分辨率进行推导，发射的信号为线性调频信号：
s
(
t
)
=
A
c
o
s
(
2
π
(
f
c
t
+
S
t
2
2
)
+
φ
0
)
s(t)=Acos(2π(f_ct+\frac{St^{2}}{2})+φ_0)
s(t)=Acos(2π(fct+2St2)+φ0)
S
S
S为线性调频斜率，
f
c
f_c
fc为信号的载频，
φ
0
φ_0
φ0为信号的初始相位。上面得到的公式仅是一个脉冲时间
T
T
T内信号的表达式，在发射多个脉冲串的情况下，公式会有所不同。首先，第
n
+
1
n+1
n+1个脉冲时间
t
t
t有如下的表达形式：
t
=
t
s
+
n
T
t=t_s+nT
t=ts+nT 在上式中，
0
<
t
s
<
T
0 0 n + 1 n+1 n+1脉冲内进行的时间， n n n为脉冲数， T T T为一个脉冲对应的周期，第 n + 1 n+1 n+1个发射信号瞬时频率表达式 f 瞬 f_瞬 f瞬可以表示为： f 瞬 = f c + S ( t − n T ) = f c + S t s f_瞬=f_c+S(t-nT)=f_c+St_s f瞬=fc+S(t−nT)=fc+Sts 对 f 瞬 f_瞬 f瞬进行积分，得到 n + 1 n+1 n+1个发射信号的表达式如下： s ( t ) = A c o s ( 2 π ( f c t + S t s 2 2 ) + φ 0 ) ， ( t = t s + n T ) s(t)=Acos(2π(f_ct+\frac{St_s^{2}}{2})+φ_0)，(t=t_s+nT) s(t)=Acos(2π(fct+2Sts2)+φ0)，(t=ts+nT) 假设目标以速度 v v v运动，接收到的回波信号延时为 τ \tau τ， τ \tau τ有如下的表达式： τ = 2 ( R + v t ) c ， ( τ < < T ) \tau=\frac{2(R+vt)}{c}，(\tau< τ=c2(R+vt)，(τ< s 1 ( t ) s_1(t) s1(t)有如下的表达式： s 1 ( t ) = B c o s ( 2 π ( f c ( t − τ ) + S ( t s − τ ) 2 2 ) + φ 0 ) ) s_1(t)=Bcos(2π(f_c(t−τ)+\frac{S(t_s−τ)^{2}}{2})+φ_0)) s1(t)=Bcos(2π(fc(t−τ)+2S(ts−τ)2)+φ0)) 发射信号与回波信号混频之后得到如下表达式：(幅度或许可以改为C) s m i x ( t ) = A B 2 c o s ( 2 π ( f c τ + S τ t s − S τ 2 2 ) ) s_{mix}(t)=\frac{AB}{2}cos(2π(f_cτ+Sτt_s−\frac{Sτ^{2}}{2})) smix(t)=2ABcos(2π(fcτ+Sτts−2Sτ2)) 对于上式的混频结果，不难看出，在物体速度为0，或者忽略速度的影响下， τ = 2 R c \tau=\frac{2R}{c} τ=c2R，则中频信号 s m i x s_{mix} smix对应的频率，即中频为： f = S τ = S ∗ 2 R c = 2 R S c f=S\tau=S*\frac{2R}{c}=\frac{2RS}{c} f=Sτ=S∗c2R=c2RS 上式的结果与上一节的推导相吻合，如果考虑速度的影响，即 τ = 2 ( R + v t ) c \tau=\frac{2(R+vt)}{c} τ=c2(R+vt)，把 t = t s + n T t=t_s+nT t=ts+nT的表达式代入之后，得到如下的混频结果： s m i x ( t ) = A B 2 c o s ( 2 π ( 2 ( R + v t ) f c c + 2 ( R + v t ) S t s c − 2 S ( R + v t ) 2 c 2 ) ) s_{mix}(t)=\frac{AB}{2}cos(2π(\frac{2(R+vt)f_c}{c}+\frac{2(R+vt)St_s}{c}−\frac{2S(R+vt)^{2}}{c^{2}})) smix(t)=2ABcos(2π(c2(R+vt)fc+c2(R+vt)Sts−c22S(R+vt)2)) 经过一系列的化简之后，最终的表达形式如下所示： s m i x ( t ) = A B 2 c o s ( 2 π ( 2 f c R c + 2 f c v t s c + 2 f c v n T c + 2 R S t s c + 2 v S t s 2 c + 2 v S n T t s c − 2 S ( R + v ( t s + n T ) ) 2 c 2 ) ) s_{mix}(t)=\frac{AB}{2}cos(2π(\frac{2f_cR}{c}+\frac{2f_cvt_s}{c}+\frac{2f_cvnT}{c}+\frac{2RSt_s}{c}+\frac{2vSt_s^{2}}{c}+\frac{2vSnTt_s}{c}−\frac{2S(R+v(t_s+nT))^{2}}{c^{2}})) smix(t)=2ABcos(2π(c2fcR+c2fcvts+c2fcvnT+c2RSts+c2vSts2+c2vSnTts−c22S(R+v(ts+nT))2)) 在上式中， c 2 c^2 c2此项过大，可以忽略这项。根据混频信号的相位变化，可以得到对应的速度信息。 设 φ 1 = 2 π ( 2 f c R c ) \varphi_1=2π(\frac{2f_cR}{c}) φ1=2π(c2fcR)，继续对上式进行化简，得到： s m i x ( t ) = A B 2 c o s ( 2 π ( 2 f c v t s c + 2 R S t s c + 2 v S t s 2 c + 2 v S n T t s c + 2 f c v n T c ) + φ 1 ) s_{mix}(t)=\frac{AB}{2}cos(2π(\frac{2f_cvt_s}{c}+\frac{2RSt_s}{c}+\frac{2vSt_s^{2}}{c}+\frac{2vSnTt_s}{c}+\frac{2f_cvnT}{c})+\varphi_1) smix(t)=2ABcos(2π(c2fcvts+c2RSts+c2vSts2+c2vSnTts+c2fcvnT)+φ1) 在进行多普勒FFT时，也就是在慢时间中求的不同脉冲（脉冲对应的 n n n值不同）在相同时间 t s t_s ts下相位的变化值。观察上式，可以发现相邻两个脉冲间 n n n值差为1，得到相位差值 w w w如下结果： w = 2 π ( 2 v S T t s c + 2 f c v T c ) = 2 π ( 2 B v t s c + 2 f c v T c ) w=2\pi (\frac{2vSTt_s}{c}+\frac{2f_cvT}{c})=2\pi (\frac{2Bvt_s}{c}+\frac{2f_cvT}{c}) w=2π(c2vSTts+c2fcvT)=2π(c2Bvts+c2fcvT) 在上式中， t s t_s ts值为距离FFT峰值出现的时间，一般为ms级别。因为 f c f_c fc 通常是几十G量级，而 S = S= S= B T \frac{B}{T} TB, B B B可能达到G量级，一般来说， B < < f c B< B< w = 4 π f c v T c w=\frac{4\pi f_cvT}{c} w=c4πfcvT 结合上式，得到速度的表达式为： v = w ∗ c 4 π f c T v=\frac{w *c}{4\pi f_cT} v=4πfcTw∗c 脉冲串的数量为 N N N，对于速度FFT而言，假设采样频率为 F s F_s Fs,FFT的采样点数，假如为 N 1 N1 N1。可以这么理解，在 N ∗ T N*T N∗T的时间内，采样频率为 F s F_s Fs，采样点数为 N 1 N1 N1，所以 F s = N N T = 1 T = P R F F_s=\frac{N}{NT}=\frac{1}{T}=PRF Fs=NTN=T1=PRF，即在 N T NT NT时间内采了 N 1 N1 N1个点数，频率分辨率 Δ f = F s N 1 \Delta f=\frac{F_s}{N1} Δf=N1Fs， N 1 N1 N1为 F F T FFT FFT点数，进一步推导得到FFT的最小相位分辨 Δ w \Delta w Δw： Δ w = 2 π Δ f F s = 2 π N 1 \Delta w=2\pi\frac{\Delta f}{F_s}=\frac{2\pi}{N1} Δw=2πFsΔf=N12π 速度 v v v的分辨率有如下表达式： Δ v = Δ w ∗ c 4 π f c T \Delta v=\frac{\Delta w *c}{4\pi f_cT} Δv=4πfcTΔw∗c 将 Δ w \Delta w Δw表达式带入之后，即可以得到速度 v v v的分辨率： Δ v = c 2 f c N 1 ∗ T ，当 N = N 1 时， Δ v = c 2 f c N f \Delta v=\frac{c}{2f_cN1*T}，当N=N1时，\Delta v=\frac{c}{2f_cN_f} Δv=2fcN1∗Tc，当N=N1时，Δv=2fcNfc 上式中， N f N_f Nf为N个脉冲的时间累计和。 四、FMCW雷达二维FFT代码（matlab） 见资源 总结 本文给出了调频连续波雷达（FMCW）雷达测距和测速的原理，并给出了其推导过程，后续会对FMCW处理的全流程进行仿真和原理介绍，敬请期待。